Orpheus Ver. 3.23 ■ 自動作曲システムオルフェウス, Aug 2023

スキーム /

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301620 / あき

スキーム

数学におけるスキームとは、
可換環に対して
双対的に構成される
局所環付き空間である。

二十世紀半ばに
アレクサンドル・グロタンディークによって導入され、
以降の代数幾何学において
任意標数の代数多様体を包摂し、

係数の拡大や図形の
「連続的」な変形を統一的に
取り扱えるような図形の概念として
取り扱われている。

さらに、今まで純代数的な対象として
研究されてきた環についても
そのアフィンスキームを
考えることである種の幾何的対象として、

多様体との類推にもとづく
研究手法を持ち込むことが可能になる。
このため特に数論の分野では
スキームが強力な枠組みとして定着している。

スキームを通じて圏論的に定義される様々な
概念は大きな威力を発揮するが、その一方で、
古典的な代数幾何においては点とみなされなかった
既約部分多様体のようなものまでが

スペクトルの点になってしまう。
このためヴェイユ・ザリスキ流の代数幾何学を
習得して研究していた同時代の学者たちからは
戸惑いのこもった反発を受けた。

可換環 A に対して、
A の素イデアルの全体の集合 Spec(A) は
A のスペクトルとよばれる。
A の元f に対しD(f)を

{p∈Spec(A);f∈p}とすると
Spec(A) の開集合の生成基となる。
環AのスペクトルSpec(A)は以下のようにして
局所環付き空間の構造を持ち、

その構造も込めてアフィンスキームとよばれる。
Spec(A) の開集合 Uに対し、
SU=∩_{p∈U}p^c
は A の空でない積閉集合である。

開集合 U に対して
SUに関するAの局所化
SU^-1A を与える対応は
Spec(A) 上の局所環の層になる。

♪


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